Di bagian kota yang ramai dari suatu kota tertentu, dua kelompok jalan satu-arah berpotongan seperti pada gambar dibawah ini. Rata-rata volume mobil per jam yang memasuki dan meninggalkan persimpangan diberikan pada gambar. Tentukan banyaknya lalu lintas antara pada setiap perempatan (x1, x2, x3, x4)
Cara menyelesaikan Matriks tersebut dengan Invers Matriks yang dilakukan pertama kali adalah memisahkan sistem persamaan linear tersebut antara variabel x1, x2, x3, dan x4 dengan hasil, kemudian dibuat matriks. Sementara itu, matriks variabel x1, x2, x3, dan x4 diinverskan. Sehingga menjadi:
Langkah-langkah menyelesaikan Matriks tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan.
Jawaban:
Cara Manual:
Untuk menghitung
nilai x pada persimpangan jalan, volume mobil per jam yang masuk ke suatu
persimpangan sama dengan volume mobil per jam yang keluar dari suatu
persimpangan tersebut. Maka setiap persimpangan memiliki perumusan sebagai
berikut:
Volume Mobil per Jam yang Masuk = Volume Mobil per
Jam yang Keluar
Persimpangan A:
x1 +
450 = 610 + x2
x1 – x2
= 610 – 450
x1 – x2
= 160
Persimpangan B:
x2 +
520 = 480 + x3
x2 – x3
= 480 – 520
x2 – x3
= -40
x3 – x2
= 40
Persimpangan C:
x3 +
390 = 600 + x4
x3 – x4
= 600 – 390
x3 – x4
= 210
Persimpangan D:
x4 +
640 = 310 + x1
x4 – x1
= 310 – 640
x4 – x1
= -330
x1 – x4
= 330
Dari persamaan
pada setiap persimpangan tersebut dapat dibuat kedalam sistem persamaan linear.
Sistem persamaan linear tersebut dapat dibuat kedalam bentuk matriks.
1. Cara Invers
Matriks
Kemudian kedua
matriks tersebut dikalikan. Namun Matriks yang diinverskan tersebut tidak dapat
dikalkulasikan karena Matriks yang diinverskan itu menghasilkan matriks
singular. Sehingga memiliki nilai dan hasil penyelesaian yang tidak
terdefinisi.
2. Cara Eliminasi Gauss-Jordan
Dari penyelesaian
eliminasi Gauss Jordan didapat nilai x1, x2, x3,
x4 adalah:
1x1 –
1x4 = 330
x1 = 330 + x4
1x2 – 1x4
= 170
x2 =
170 + x4
1x3 – 1x4
= 210
x3 =
210 + x4
0x4 =
0
0 = 0
Sistem persamaan
linear tersebut dikatakan tak bebas linear (bergantung linear) karena dalam
matriks dengan penyelesaian eliminasi Gauss-Jordan memiliki baris yang nol.
Sehingga matriks tersebut memiliki 4 vektor dan merentang suatu ruang
berdimensi 3.
Maka dari
persimpangan tersebut pada jalan x4 dikatakan tidak bisa dilalui
atau tidak ada volume kendaraan yang masuk pada jalan x4 itu karena
memiliki nilai atau penyelesaian yang tidak terdefinisi.
Cara MATLAB:
Copy Paste Kode Program ini pada m-file MATLAB kemudian di-running-kan untuk melihat output hasil program ini.
Kode Program:
clc;clear;
disp('Persamaan pada setiap persimpangan')
A=[1 -1 0 0 160]
B=[0 -1 1 0 40]
C=[0 0 1 -1 210]
D=[1 0 0 -1 330]
disp('Penggabungan setiap persamaan menjadi sebuah matriks')
Matriks=[A; B; C; D]
disp('-----Cara 1-----')
disp('Penyelesaian dengan Gauss-Jordan')
rref(Matriks) %kolom terakhir merupakan solusi
disp('------Cara 2-----')
disp('Penyelesaian dengan Invers Matriks dan Backslash')
Matriks(:,5)=[]
Hasil=[160 40 210 330]'
disp('Invers Matriks')
Invers=inv(Matriks)*Hasil
disp('Backslash')
Backslash=Matriks\Hasil
Cara MATLAB:
Copy Paste Kode Program ini pada m-file MATLAB kemudian di-running-kan untuk melihat output hasil program ini.
Kode Program:
clc;clear;
disp('Persamaan pada setiap persimpangan')
A=[1 -1 0 0 160]
B=[0 -1 1 0 40]
C=[0 0 1 -1 210]
D=[1 0 0 -1 330]
disp('Penggabungan setiap persamaan menjadi sebuah matriks')
Matriks=[A; B; C; D]
disp('-----Cara 1-----')
disp('Penyelesaian dengan Gauss-Jordan')
rref(Matriks) %kolom terakhir merupakan solusi
disp('------Cara 2-----')
disp('Penyelesaian dengan Invers Matriks dan Backslash')
Matriks(:,5)=[]
Hasil=[160 40 210 330]'
disp('Invers Matriks')
Invers=inv(Matriks)*Hasil
disp('Backslash')
Backslash=Matriks\Hasil
azzah
ReplyDelete