Fungsi Inverse pada Fungsi Kuadrat

Dalam postingan kali ini, saya mulai membahas mengenai fungsi inverse pada fungsi kuadrat. Dalam materi SMA atau mungkin materi matematika dalam perkuliahan, terkadang mencari fungsi inverse pada fungsi yang berbentuk kuadrat sedikit rumit dibandingkan fungsi linear. Kenapa dikatakan sulit? Karena fungsi kuadrat pada fungsi inverse ini memerlukan sedikit teknik aljabar yang bisa dikatakan sedikit rumit juga.



Oke fungsi kuadrat merupakan fungsi yang variabel tunggalnya berderajat dua. Seperti contohnya fungsi merupakan fungsi kuadratik karena variabel x-nya berderajat dua. Contoh lainnya yaitu fungsi juga dikatakan fungsi kuadrat karena variabel a-nya berderajat dua. Untuk mengetahui berapa derajat pada fungsi tersebut dilihat dari pangkat maksimum pada fungsi tersebut. Jika pangkat maksimum pada variabel adalah 2 maka fungsi tersebut berderajat dua atau dapat dikatakan sebagai fungsi kuadrat.

Fungsi kuadrat identik dengan grafik kurva pada diagram cartesius. Jika bentuk kurvanya membuka ke atas maka kebalikannya membuka ke bawah, jika bentuk kurvanya membuka ke bawah maka kebalikannya membuka ke atas. Mungkin gak sih bentuk kurvanya membuka ke kiri atau ke kanan? Mungkin saja! Namun kata inverse disini bukan berarti kebalikan dari grafik asalnya melainkan cerminan atau refleksi grafik yang dibatasi oleh domain itu sendiri. Dalam pembahasan fungsi inverse pada fungsi kuadrat ini akan dibahas dasar-dasar cara penyelesaian fungsi inverse pada fungsi kuadrat.

Langkah-langkah penyelesaian dalam mencari fungsi inverse pada fungsi kuadrat sebenarnya sama dengan dengan penyelesaian fungsi inverse pada fungsi lainnya terutama pada fungsi linear. Namun sedikit berbeda pada penentuan hasil akhirnya. Berikut ini langkah-langkah penyelesaian dalam mencari fungsi inverse pada fungsi kuadrat:

1. Ganti f(x) dengan y
2. Tukarkan variabel x dengan y dan sebaliknya pada persamaan fungsi
3. Selesaikan variabel y dalam bentuk variabel x
4. Ganti y dengan f^-1(x) untuk menghasilkan fungsi inverse yang diminta.
5. Untuk mendapatkan hasil yang sebenarnya, apabila diketahui domain pada fungsi maka hasil inversenya adalah range dari fungsi sebelum diinverse-kan. Namun jika tidak diketahui domainnya, asumsikan bahwa fungsi tersebut dibatasi domain dengan range yang menghasilkan nilai lebih dari 0.

Terkadang untuk beberapa kasus mencari fungsi inverse pada fungsi kuadrat tidak dibatasi oleh domain. Sehingga inverse dari fungsi kuadrat tidak selalu berada pada posisi yang membuka kemana-mana karena hasil dari fungsi inverse memiliki grafik dengan bentuk setengah kurvanya yang terpisah.

Baik kita coba menghitung fungsi inverse dari fungsi kuadrat .

Pertama ubahlah f(x) dengan y sehingga:



Kedua tukarkan variabel x dengan variabel y dan begitupun sebaliknya sehingga:



Ketiga selesaikan variabel y dalam bentuk variabel x, didapat:





Keempat gantikan variabel y dengan f^-1(x), sehingga:



Oke cukup. Fungsi inverse dari fungsi kuadrat adalah
. Namun jawaban ini bukanlah jawaban yang valid. Kenapa? Karena fungsi inverse dari fungsi kuadrat tersebut memiliki dua jawaban, yaitu dan . Kalau kita gambarkan dengan grafik maka akan tertampil seperti ini:

Dengan warna biru merupakan fungsi , warna merah merupakan fungsi , dan warna kuning merupakan fungsi . Jika kita perhatikan fungsi nilai f(x) yang menghasilkan 0 apabila nilai x adalah 1. Sehingga fungsi memiliki domain dengan range . Maka balikan saja domain menjadi range dan range menjadi domain, sehingga domainnya adalah dan rangenya adalah .Dari hasil domain dan range yang dibalikan, manakah fungsi inverse yang sesuai dengan domain tersebut? subtitusikan x=0 pada kedua persamaan fungsi inverse tersebut. Apabila terdapat persamaan fungsi inverse yang memenuhi range maka persamaan fungsi inverse itulah merupakan fungsi inverse yang valid pada fungsi kuadrat tersebut. Anda dapat mengecek sendiri dari hasil substitusi domain untuk mendapatkan range yang dimaksud bahwa fungsi inverse yang valid dari fungsi kuadrat adalah . Sehingga fungsi inverse dari fungsi kuadrat adalah . Untuk lebih jelasnya, lihat gambar grafik berikut:

Pada gambar grafik tersebut dengan warna biru merupakan fungsi , warna merah merupakan fungsi akan terlihat saling berkebalikan satu sama lainnya sehingga dengan membatasi domainnya maka akan terlihat fungsi inversnya.

Semoga penjelasan mengenai fungsi inverse pada fungsi kuadrat ini bermanfaat bagi anda yang sedang mencari penjelasan mengenai cara penyelesaian fungsi inverse pada fungsi kuadrat.